元是什么结构(有限元法个人总结)

大家好，今天给大家分享元是什么结构，一起来看看吧。

有限元法个人总结

从本科大三《结构力学》（李廉锟）的矩阵位移法懵懂的认识，到大四上学期《弹性力学基础》（刘润星）的混*，再到本科毕业论文时的ABAQUS软件模拟过程中的无知，这是自己认识有限元法的懵懂期。

从研一徐荣桥老师的《变分原理》，到后来自学的n本教材，包括《有限单元法》（王勖成），《结构分析的有限元法与Matlab程序设计》（徐荣桥），《非线性有限元及程序》（凌道盛 徐兴）等，自己算是对有限元的基本原理有了个大致的掌握。

为了防止自己在以后应有限元的软件（基本上现在就学了个ABAQUS，MATLAB一知半解）过程中犯形而上的错误，故写这篇总结。采用的形式就是问题-答案的模式。

1.有限元的发展历史是什么？

答：有限元法是有结构力学中的矩阵位移法发展而来的，具体发展历程见教材《有限单元法》（王勖成），《非线性有限元及程序》（凌道盛 徐兴）等。

2.有限元法的理论基础是什么？

答：有限单元法的理论基础是从用加权余量法求解微分方程的等效积分或等效积分的弱形式（应用了分部积分和高斯公式进行了降阶，对不起自己，高等数学没学好，这一部分没碰到具体问题就会忘记）中发展起来的。

为什么这样说呢？因为，（本着“行早于知”“工程技术推动科学理论进步”哲学观），在有限单元法出现之前的上古时代，物理数学家对一些工程领域的问题早就推导出了它们应遵循的基本方程（又叫控制方程，常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件。

那么接下来就面临一个问题，怎么求解由“基本方程和定解条件”构成的方程组，或者换一种更通俗的说法：怎么找到同时满足“基本方程和定解条件”的解（也就是我们所关心的工程问题的答案）？

数学家，这群玩弄逻辑和数学符号“无中生有”的“**们”，在思考上面这个问题的求解方法时，首先思考的是另外一个问题：要同时找到满足两类限制条件的解是不是有点烦呢，能不能把这两类限制条件先统一起来（准确说是写在一个方程里面，数学家就会解方程而已，这个地方牵涉到的数学理论包括：线性代数，矩阵函数，矩阵运算以及其他可能现存但是我还未知的理论等。反正就是把好多式子用一个统一的形式写出来了，这样方便后面运算）

于是，数学家（这群玩弄逻辑和数学符号的“**们”）想出了一种“偷天换日”的方法——微分方程的等效积分形式。

什么叫微分方程的等效积分形式呢？说白了，很简单，就是你观察一下工程实际问题（这个古老的问题就是物理学家研究的稳态传热问题——传热学里面的，不懂的自己百度）的基本方程和定解条件，你会发现什么？是的，那就是：一，它们等号的右边都是一个奇妙的数字“0”（正所谓“太极生两仪，两仪生四象”“无并非无，无中可以生有”）；二，它们当中基本方程式微分方程，微分方程，微分方程！（我*，要吓尿了！对于我这个数学渣渣而言，高数就是噩梦！）

于是乎这群“**们”发现基本方程和定解条件在它们对应求解域上的积分仍然是“0”，而“0 0=0”，故而，利用这一前提构造出了微分方程的等效积分形式。见下图：

式中的A(u),B(u),v,v’分别表示问题的基本方程、定解条件和引入的两个“参数”。这时注意：,v和v’是分别同基本方程和定解条件个数相等的任意函数。

好了，现在将这类限制条件（基本方程和定解条件）统一起来了，但是，在我们这些凡人看起来，这似乎并没有什么卵用，除了看起来形式简单了一点之外，可能还会有人抱怨，“并且引入了‘两个’新的参数，岂不是得不偿失”。然而，事实并非是这样的。

为什么呢？因为在上古时代，数学家们就找到了求解微分方程的近似解法——加权余量法。

那么什么是加权余量法呢？

很简单，如下面截图：

这一部分参见徐荣桥老师《结构分析的有限元法与Matlab程序设计》P34页，在平面梁单元中，用节点位移推导形函数的过程。（其实就是将在讲怎么将复杂的方程组用矩阵形式简洁地表达出来，用到线性代数的理论）

上面这部分截图中注意三句话：一，近似函数所取试探函数的项数越多，近似解的精度将越高，当n趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。二，近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性要求的要求的试探函数。（强制边界条件参见《变分原理》）。三，任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数。

于是乎，根据权函数的不同又诞生了不同的加权余量法，如：配点法，子域法，小二乘法，力矩法，伽辽金法等。

伽辽金法原理如下：

上面是讲得，主要得出一个结论：加权余量法可以用于求解微分方程。

而数学家们发现，如下图：

RITZ法的具体求解过程参见，徐荣桥老师《变分原理》。

至此，可以这样说，有限元法的理论基础，或者说数理基础就是，等效积分伽辽金弱形式（自然变分原理）。

3.通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法表达格式的步骤是什么？

答：参见徐荣桥老师《结构分析的有限元法与Matlab程序设计》（p26—28）和王勖成老师《有限元法》（p77-82）。

个人总结：

1）结构的离散化

那就是根据问题选择适当的单元类型。牵涉到各种数值积分，不同问题单元的适用性。

2）选择位移模式（有的又叫插值函数，注意，王勖成老师和徐荣桥老师的插值函数不同，徐荣桥老师的插值函数指的是位移模式，而王勖成老师的插值函数实际上是形函数。）

（1）用节点位移表示单元内任意一点的位移（诞生了形函数矩阵）

（2）用节点位移表示单元内任意一点的应变（诞生了应变矩阵）

（3）用节点位移表示单元内任意一点的应力（诞生了应力矩阵）

实际上，后面（2）（3）点就是利用几何方程和物理方程，得到应变矩阵和应力矩阵，这两个矩阵在后面利用小势能原理和变分法推导单元平衡方程中将会用到。

3）分析单元的力学特性（建立单元刚度方程）

这一步就是利用小势能原理和变分法推导出单元的平衡方程，即得到单元刚度矩阵，等效节点力（所谓等效节点力，是指非节点荷载按照虚功相等的原则分配到单元节点上的力）。（节点位移假设为未知量）

4）建立整体平衡方程（整体刚度方程）

求解转换矩阵（用于将局部坐标系下的节点力，节点位移和单元刚度矩阵转换到整体坐标系下的矩阵）。

5）引入边界条件

6）求解方程组以及应变和应力

这一部分就是凌道盛、徐兴老师《非线性有限元及程序》书中讲的主要内容。

7）后处理

当然以上只是针对于静力学问题的步骤，动力学问题求解步骤类似，可参见《结构分析的有限元法与Matlab程序设计》（徐荣桥）（p189-194），《非线性有限元及程序》（凌道盛 徐兴）。

4.有限元法可求解问题的分类

有限元法可以求解问题从其性质上可分为三类：

后归结为求解系数矩阵元素在对角线附近系数分布的线性代数方程组（一般为非齐次线性代数方程组）对于常见的结构应力分析问题，求解的是对应给定荷载的结构位移和应力。此类问题至今主要采用直接法。（列出整个结构的整体刚度方程）

它也是稳态问题，但是求解的是齐次方程。解答是使方程存在非零的解的特征值和与之对应的特征向量（模态）。在实际应用中，它们代表的可能是振动的固有频率和振型，或结构屈曲的临界荷载和屈曲模态等。

由于这类问题的方程是节点自由度对于时间的一阶、二阶导数的的常微分方程组，求解的是在随时间变化的载荷作用下的结构内唯一和应力的动态响应，或是波动在介质中的传播、反射等，所以此类问题的求解主要是采用对常微分方程组直接进行数值积分的时间逐步积分法。依据所导致的代数方程组是否需要联立求解，可区分为时间步长只受求解精度限制的隐身算法（如以Newmark法为代表），以及时间步长受算法稳定限制的显示算法（如以中心差分法为代表）。为了有效地求解不同刚度的介质、材料或单元尺寸在同一问题中耦合作用所形成的方程，常采用隐式-显式相结合的算法。

上述三类问题，从方程自身性质考虑，还存在对应的非线性情形。非线性可以由材料性质、变形状态和边界接触条件引起的，分别称为材料、几何、边界非线性。

5.有限元方法的未来研究方向

6.有限元分析过程的有效性和计算结果的可靠性问题

这个命题涉及到有限元模型的建立，恰当的分析方案和计算方法的选择，以及对计算结果的正确解释和处理这三方面。

1单元的类型和形状的选择（王勖成有限单元法P165）

上面这个问题可以换一种提问方式：

单元的不同为什么会影响计算结果的精度？

答：选择适当的位移函数是有限单元法分析的关键。（当然这是对于以位移作为未知量单位即位移元而言的。）因为不同的单元，其位移函数是不同的，采用越与实际位移越接近的位移函数的单元，模拟的效果越好。从上面的例子中可以看出，采用单元的位移函数的阶次越与理论解的阶次接近（或者说越高），那么即使网格稀疏也能得到理想的解。

这是因为在单元形状确定以后，位移模式将影响等效荷载的计算、刚度矩阵的建立和应力应变的计算。所以一个与真实位移分布有很大差别的位移模式，是很难得到很好的数值结果的。（徐荣桥结构分析的有限元p93-94）

为了保证解的收敛性，要求位移模式必须满足：

满足条件1、2的成为完备单元，满足条件3的成为协调单元。

已经证明，对于完备的协调单元，其刚度系数的数值比精确的要大。这样以来，在给定的荷载下，计算模型的变形比实际结构要小。因此，当单元网格分割得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解。

2网格的划分

网格的疏密和网格的过渡（有限单元法王勖成P166）。

7.什么叫线弹性力学？或线性有限单元法？或者说线性和非线性有限单元法的区别

个人思考：

既然非线性耦合问题计算不易收敛（这几天从自己建的模型中就能发现），那么就需要进行解耦。解耦，是两个层次上的，一个是对构件受力行为进行分析，明确其各个阶段的主要非线性来源进行分析。二是对存在三个非线性耦合的问题找出其主要的非线性问题的来源，对主要非线性进行单独考虑分析。也就是说，既要横向考虑，又要纵向考虑。

引发的进一步思考是，在制定问题的分析方案时，可分阶段进行考虑甚至分开建模。这个可以进行一下尝试。

以上就是元是什么结构的内容分享，希望对大家有用。